Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема за равномерната сходимост в точка

Уикипедия
Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

Една фaмилия от функции се нарича равномерно сходяща в точката[1] клоняща към , ако за всяко положително съществува естествено и положително , такива че

където

e -околност на .

Една фaмилия от функции ще наричаме равномерно поне ужсходяща в точката[2] клоняща към ако за всяко съществува естествено и положително , такива че

Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението Видове сходимост в пространства от функции.


Теорема за равномерната сходимост в точка:

  • Множеството от точки на равномерна сходимост и множеството от точки на равномерна поне ужсходимост на една фамилия от функции   са  -множества.
  • Ако   е равномерно сходяща или равномерно ужсходяща в точката   и всеки нейн елемент е непрекъснат в  , то и всяка нейна граница   e непрекъсната в тази точка.
  • Ако   е поточково сходяща в дадена точка   клоняща към непрекъснатата в   функция   и всеки нейн елемент е непрекъснат в  , то   e равномерно поне ужсходима в  .

Доказателство

редактиране

Започваме с доказателството на първата част на теоремата:

Нека   е такавa функция, че

 

за всяко  , за което границата

 

съществува, и

 

в противен случай. Дефинираме множествата

 
 
 

и

 

които са по дефиниция отворени, както и множествaтa

 

и

 

които са  -множества. Очевидно

 

тогава и само тогава когато

 

което е равносилно на

 

тоест на равномерната сходимост в  . Също така лесно се съобразява, че условията

 
 

и

 

са еквивалентни. Тоест, че   е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.

Сега ще докажем втората част на теоремата.

От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на   в точката   следва, че за всяко положително   съществуват околност   на   и   такива, че

 

и в частност

 ,

когато   е някоя от границите на  . От непрекъснатостта на функциите  ,  , ... следва, че съществува околност     на  , така че

 .

Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на   в точкта  :

 .

Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително   съществува околност   на  , такава че

 
 

и

 .

Това следва от поточковата сходимостта на   и от непрекъснатостта на функциите  ,  ,  , ... в   и означава, че

 .

Последното показва равномерната поне ужсходимост на   в  .  

Вижте също

редактиране

Литература

редактиране
  • Hausdorff F., Grundzuеge der Mengenlehre, Verlag Veit & Co, Leipzig, 1914, преиздадена от Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978
  1. Това понятие е въведено за първи път от Хаусдорф в Grundzuege der Mengehnlehre, Kap. IX, § 4.
  2. Това не е приет в литературата термин, а наименование, което използваме за да улесним изложението на доказателствата в сборника (Виж. също допълнението Равномерна поне ужсходимост в дадена точка)