Една фaмилия от функции
( f n : R → R ) n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle (f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} )_{n=1,2,...}} се нарича равномерно сходяща в точката [1] ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} } клоняща към f {\displaystyle f} , ако за всяко положително ε {\displaystyle \varepsilon } съществува естествено m {\displaystyle m} и положително δ {\displaystyle \delta } , такива че
∀ n ( n ≥ m ⇒ △ δ ( ξ ) ⊂ { x : | f ( x ) − f n ( x ) | < ε } ) {\displaystyle \forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon \})} където
△ δ ( ξ ) = { x : | x − ξ | < δ } {\displaystyle \triangle _{\delta }(\xi )=\{x:|x-\xi |<\delta \}} e δ {\displaystyle \delta } -околност на ξ {\displaystyle \xi } .
Една фaмилия от функции
( f n : R → R ) n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle (f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} )_{n=1,2,...}} ще наричаме равномерно поне ужсходяща в точката [2] ξ {\displaystyle \xi } клоняща към f , {\displaystyle f,} ако за всяко ε {\displaystyle \varepsilon } > 0 {\displaystyle >0} съществува естествено m {\displaystyle m} и положително δ {\displaystyle \delta } , такива че
△ δ ( ξ ) ⊂ { x : | f ( x ) − f m ( x ) | < ε } . {\displaystyle \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon \}.} Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението Видове сходимост в пространства от функции .
Започваме с доказателството на първата част на теоремата:
Нека f ∗ {\displaystyle f^{\ast }} е такавa функция, че
f ∗ ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) {\displaystyle f^{\ast }(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} за всяко x {\displaystyle x} , за което границата
lim n → ∞ f n ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} съществува, и
f ∗ ( x ) = 0 {\displaystyle f^{\ast }(x)=0} в противен случай. Дефинираме множествата
S m n = Int ( { x : ∀ k ≥ m ( | f k ( x ) − f ∗ ( x ) | < 1 n ) } ) , {\displaystyle S_{m}^{n}=\operatorname {Int} \left(\left\{x:\ \forall k\geq m\left(|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right)\right\}\right),} ➚
R m n = Int ( { x : | f m ( x ) − f ∗ ( x ) | < 1 n } ) , {\displaystyle R_{m}^{n}=\operatorname {Int} \left(\left\{x:\ |f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right),}
O n = ⋃ m S m n , {\displaystyle O_{n}=\bigcup _{m}S_{m}^{n},} и
U n = ⋃ m R m n , {\displaystyle U_{n}=\bigcup _{m}R_{m}^{n},} които са по дефиниция отворени, както и множествaтa
G = ⋂ n O n {\displaystyle G=\bigcap _{n}O_{n}} и
H = ⋂ n U n {\displaystyle H=\bigcap _{n}U_{n}} които са G δ {\displaystyle G_{\delta }} -множества. Очевидно
y ∈ G {\displaystyle y\in G} тогава и само тогава когато
∀ n ∃ m ∃ δ > 0 ∀ k ( k ≥ m ⇒ △ δ ( y ) ⊂ { x : | f k ( x ) − f ∗ ( x ) | < 1 n } ) , {\displaystyle \forall n\exists m\exists \delta >0\ \forall k\left(k\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right),} което е равносилно на
∀ ε > 0 ∃ m ∃ δ > 0 ∀ k ( k ≥ m ⇒ △ δ ( y ) ⊂ { x : | f k ( x ) − f ∗ ( x ) | < ε } ) , {\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists m\exists \delta >0\ \forall k\left(k\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<\varepsilon \right\}\right),} тоест на равномерната сходимост в y {\displaystyle y} . Също така лесно се съобразява, че условията
y ∈ H , {\displaystyle y\in H,}
∀ n ∃ m ∃ δ > 0 ( △ δ ( y ) ⊂ { x : | f m ( x ) − f ∗ ( x ) | < 1 n } ) {\displaystyle \forall n\exists m\exists \delta >0\left(\triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right)} и
∀ ε > 0 ∃ m ∃ δ > 0 ( △ δ ( y ) ⊂ { x : | f m ( x ) − f ∗ ( x ) | < ε } ) , {\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists m\exists \delta >0\left(\triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<\varepsilon \right\}\right),} са еквивалентни. Тоест, че H {\displaystyle H} е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.
Сега ще докажем втората част на теоремата.
От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на ( f k ) k = 1 , 2 , . . . {\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}} в точката ξ {\displaystyle \xi } следва, че за всяко положително ϵ {\displaystyle \epsilon } съществуват околност W {\displaystyle W} на ξ {\displaystyle \xi } и m {\displaystyle m} такива, че
∀ x ∈ W ( | f m ( x ) − f ( x ) | < ε 3 ) {\displaystyle \forall x\in W\left(|f_{m}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)} и в частност
| f m ( ξ ) − f ( ξ ) | < ε 3 {\displaystyle |f_{m}(\xi )-f(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}} ,когато f {\displaystyle f} е някоя от границите на ( f k ) k = 1 , 2 , . . . {\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}} . От непрекъснатостта на функциите f 1 {\displaystyle f_{1}} , f 2 {\displaystyle f_{2}} , ... следва, че съществува околност V {\displaystyle V} ⊆ {\displaystyle \!^{\subseteq }} W {\displaystyle W} на ξ {\displaystyle \xi } , така че
∀ x ∈ V ( | f m ( x ) − f m ( ξ ) | < ε 3 ) {\displaystyle \forall x\in V\left(|f_{m}(x)-f_{m}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)} .Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на f {\displaystyle f} в точкта ξ {\displaystyle \xi } :
∀ x ∈ V ( | f ( x ) − f ( ξ ) | < ε ) {\displaystyle \forall x\in V\left(|f(x)-f(\xi )|<\varepsilon \right)} .Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително ϵ {\displaystyle \epsilon } съществува околност Y {\displaystyle Y} на ξ {\displaystyle \xi } , такава че
∀ x ∈ Y ( | f m ( ξ ) − f ( ξ ) | < ε 3 ) , {\displaystyle \forall x\in Y\left(|f_{m}(\xi )-f(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right),} ∀ x ∈ Y ( | f ( ξ ) − f ( x ) | < ε 3 ) {\displaystyle \forall x\in Y\left(|f(\xi )-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)} и
∀ x ∈ Y ( | f m ( x ) − f m ( ξ ) | < ε 3 ) {\displaystyle \forall x\in Y\left(|f_{m}(x)-f_{m}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)} .Това следва от поточковата сходимостта на ( f k ) k = 1 , 2 , . . . {\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}} и от
непрекъснатостта на функциите f {\displaystyle f} , f 1 {\displaystyle f_{1}} , f 2 {\displaystyle f_{2}} , ... в ξ {\displaystyle \xi } и означава, че
∀ x ∈ Y ( | f m ( x ) − f ( x ) | < ε ) {\displaystyle \forall x\in Y\left(|f_{m}(x)-f(x)|<{\varepsilon }\right)} .Последното показва равномерната поне ужсходимост на ( f k ) k = 1 , 2 , . . . {\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}} в ξ {\displaystyle \xi } .
Hausdorff F., Grundzuеge der Mengenlehre , Verlag Veit & Co, Leipzig, 1914, преиздадена от Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978
↑ Това понятие е въведено за първи път от Хаусдорф в Grundzuege der Mengehnlehre , Kap. IX, § 4.
↑ Това не е приет в литературата термин, а наименование, което използваме за да улесним изложението на доказателствата в сборника (Виж. също допълнението Равномерна поне ужсходимост в дадена точка )