Една фaмилия от функции
(
f
n
:
R
→
R
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle (f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} )_{n=1,2,...}}
се нарича равномерно сходяща в точката [ 1]
ξ
∈
R
{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }
клоняща към
f
{\displaystyle f}
, ако за всяко положително
ε
{\displaystyle \varepsilon }
съществува естествено
m
{\displaystyle m}
и положително
δ
{\displaystyle \delta }
, такива че
∀
n
(
n
≥
m
⇒
△
δ
(
ξ
)
⊂
{
x
:
|
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
<
ε
}
)
{\displaystyle \forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon \})}
където
△
δ
(
ξ
)
=
{
x
:
|
x
−
ξ
|
<
δ
}
{\displaystyle \triangle _{\delta }(\xi )=\{x:|x-\xi |<\delta \}}
e
δ
{\displaystyle \delta }
-околност на
ξ
{\displaystyle \xi }
.
Една фaмилия от функции
(
f
n
:
R
→
R
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle (f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} )_{n=1,2,...}}
ще наричаме равномерно поне ужсходяща в точката [ 2]
ξ
{\displaystyle \xi }
клоняща към
f
,
{\displaystyle f,}
ако за всяко
ε
{\displaystyle \varepsilon }
>
0
{\displaystyle >0}
съществува естествено
m
{\displaystyle m}
и положително
δ
{\displaystyle \delta }
, такива че
△
δ
(
ξ
)
⊂
{
x
:
|
f
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
<
ε
}
.
{\displaystyle \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon \}.}
Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението Видове сходимост в пространства от функции .
Започваме с доказателството на първата част на теоремата:
Нека
f
∗
{\displaystyle f^{\ast }}
е такавa функция, че
f
∗
(
x
)
=
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle f^{\ast }(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}
за всяко
x
{\displaystyle x}
, за което границата
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}
съществува, и
f
∗
(
x
)
=
0
{\displaystyle f^{\ast }(x)=0}
в противен случай. Дефинираме множествата
S
m
n
=
Int
(
{
x
:
∀
k
≥
m
(
|
f
k
(
x
)
−
f
∗
(
x
)
|
<
1
n
)
}
)
,
{\displaystyle S_{m}^{n}=\operatorname {Int} \left(\left\{x:\ \forall k\geq m\left(|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right)\right\}\right),}
➚
R
m
n
=
Int
(
{
x
:
|
f
m
(
x
)
−
f
∗
(
x
)
|
<
1
n
}
)
,
{\displaystyle R_{m}^{n}=\operatorname {Int} \left(\left\{x:\ |f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right),}
O
n
=
⋃
m
S
m
n
,
{\displaystyle O_{n}=\bigcup _{m}S_{m}^{n},}
и
U
n
=
⋃
m
R
m
n
,
{\displaystyle U_{n}=\bigcup _{m}R_{m}^{n},}
които са по дефиниция отворени, както и множествaтa
G
=
⋂
n
O
n
{\displaystyle G=\bigcap _{n}O_{n}}
и
H
=
⋂
n
U
n
{\displaystyle H=\bigcap _{n}U_{n}}
които са
G
δ
{\displaystyle G_{\delta }}
-множества. Очевидно
y
∈
G
{\displaystyle y\in G}
тогава и само тогава когато
∀
n
∃
m
∃
δ
>
0
∀
k
(
k
≥
m
⇒
△
δ
(
y
)
⊂
{
x
:
|
f
k
(
x
)
−
f
∗
(
x
)
|
<
1
n
}
)
,
{\displaystyle \forall n\exists m\exists \delta >0\ \forall k\left(k\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right),}
което е равносилно на
∀
ε
>
0
∃
m
∃
δ
>
0
∀
k
(
k
≥
m
⇒
△
δ
(
y
)
⊂
{
x
:
|
f
k
(
x
)
−
f
∗
(
x
)
|
<
ε
}
)
,
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists m\exists \delta >0\ \forall k\left(k\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{k}(x)-f^{\ast }(x)|<\varepsilon \right\}\right),}
тоест на равномерната сходимост в
y
{\displaystyle y}
. Също така лесно се съобразява, че условията
y
∈
H
,
{\displaystyle y\in H,}
∀
n
∃
m
∃
δ
>
0
(
△
δ
(
y
)
⊂
{
x
:
|
f
m
(
x
)
−
f
∗
(
x
)
|
<
1
n
}
)
{\displaystyle \forall n\exists m\exists \delta >0\left(\triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<{\frac {1}{n}}\right\}\right)}
и
∀
ε
>
0
∃
m
∃
δ
>
0
(
△
δ
(
y
)
⊂
{
x
:
|
f
m
(
x
)
−
f
∗
(
x
)
|
<
ε
}
)
,
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists m\exists \delta >0\left(\triangle _{\delta }(y)\subset \left\{x:|f_{m}(x)-f^{\ast }(x)|<\varepsilon \right\}\right),}
са еквивалентни. Тоест, че
H
{\displaystyle H}
е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.
Сега ще докажем втората част на теоремата.
От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на
(
f
k
)
k
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}}
в точката
ξ
{\displaystyle \xi }
следва, че за всяко положително
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
съществуват околност
W
{\displaystyle W}
на
ξ
{\displaystyle \xi }
и
m
{\displaystyle m}
такива, че
∀
x
∈
W
(
|
f
m
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
3
)
{\displaystyle \forall x\in W\left(|f_{m}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)}
и в частност
|
f
m
(
ξ
)
−
f
(
ξ
)
|
<
ε
3
{\displaystyle |f_{m}(\xi )-f(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}}
,
когато
f
{\displaystyle f}
е някоя от границите на
(
f
k
)
k
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}}
. От непрекъснатостта на функциите
f
1
{\displaystyle f_{1}}
,
f
2
{\displaystyle f_{2}}
, ... следва, че съществува околност
V
{\displaystyle V}
⊆
{\displaystyle \!^{\subseteq }}
W
{\displaystyle W}
на
ξ
{\displaystyle \xi }
, така че
∀
x
∈
V
(
|
f
m
(
x
)
−
f
m
(
ξ
)
|
<
ε
3
)
{\displaystyle \forall x\in V\left(|f_{m}(x)-f_{m}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)}
.
Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на
f
{\displaystyle f}
в точкта
ξ
{\displaystyle \xi }
:
∀
x
∈
V
(
|
f
(
x
)
−
f
(
ξ
)
|
<
ε
)
{\displaystyle \forall x\in V\left(|f(x)-f(\xi )|<\varepsilon \right)}
.
Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
съществува околност
Y
{\displaystyle Y}
на
ξ
{\displaystyle \xi }
, такава че
∀
x
∈
Y
(
|
f
m
(
ξ
)
−
f
(
ξ
)
|
<
ε
3
)
,
{\displaystyle \forall x\in Y\left(|f_{m}(\xi )-f(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right),}
∀
x
∈
Y
(
|
f
(
ξ
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
3
)
{\displaystyle \forall x\in Y\left(|f(\xi )-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)}
и
∀
x
∈
Y
(
|
f
m
(
x
)
−
f
m
(
ξ
)
|
<
ε
3
)
{\displaystyle \forall x\in Y\left(|f_{m}(x)-f_{m}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{3}}\right)}
.
Това следва от поточковата сходимостта на
(
f
k
)
k
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}}
и от
непрекъснатостта на функциите
f
{\displaystyle f}
,
f
1
{\displaystyle f_{1}}
,
f
2
{\displaystyle f_{2}}
, ... в
ξ
{\displaystyle \xi }
и означава, че
∀
x
∈
Y
(
|
f
m
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
)
{\displaystyle \forall x\in Y\left(|f_{m}(x)-f(x)|<{\varepsilon }\right)}
.
Последното показва равномерната поне ужсходимост на
(
f
k
)
k
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle (f_{k})_{k=1,2,...}}
в
ξ
{\displaystyle \xi }
.
Hausdorff F., Grundzuеge der Mengenlehre , Verlag Veit & Co, Leipzig, 1914, преиздадена от Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978
↑ Това понятие е въведено за първи път от Хаусдорф в Grundzuege der Mengehnlehre , Kap. IX, § 4.
↑ Това не е приет в литературата термин, а наименование, което използваме за да улесним изложението на доказателствата в сборника (Виж. също допълнението Равномерна поне ужсходимост в дадена точка )