Разглеждаме функции
f
:
D
→
R
{\displaystyle f:D\to R}
където
R
{\displaystyle R}
e метрично пространство.
Разстоянието между две точки
y
1
{\displaystyle y_{1}}
и
y
2
{\displaystyle y_{2}}
в
R
{\displaystyle R}
ще бележим с
|
y
1
−
y
2
|
{\displaystyle |y_{1}-y_{2}|}
.
Поточкова сходимост в дадена точка
ξ
{\displaystyle \xi }
редактиране
Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича поточково сходяща (или просто сходяща ) клоняща към
f
{\displaystyle f}
в точката
ξ
∈
D
{\displaystyle \xi \in D}
, ако
∀
ε
∈
R
>
0
∃
m
∈
N
(
n
≥
m
⇒
|
f
n
(
ξ
)
−
f
(
ξ
)
|
<
ε
)
{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}
Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича поточково сходяща във всяка точка (или поточково сходяща във всяка точка от дефиниционното и множество ) клоняща към
f
{\displaystyle f}
, ако
∀
ξ
∈
D
∀
ε
∈
R
>
0
∃
m
∈
N
(
n
≥
m
⇒
|
f
n
(
ξ
)
−
f
(
ξ
)
|
<
ε
)
{\displaystyle \forall \xi \in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}
Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича равномерно сходяща клоняща към
f
{\displaystyle f}
, ако
∀
ε
∈
R
>
0
∃
m
∈
N
∀
x
∈
D
(
n
≥
m
⇒
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
)
{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \forall x\in D\ (n\geq m\Rightarrow \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon )}
Нека
D
{\displaystyle D}
е метрично пространство. Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича равномерно сходяща в точката
ξ
{\displaystyle \xi }
клоняща към
f
{\displaystyle f}
, ако
∀
ε
∈
R
>
0
∃
m
∈
N
∃
δ
∈
R
>
0
(
n
≥
m
⇒
△
δ
(
ξ
)
⊂
{
x
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
}
)
,
{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}\ (n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:\ |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \}),}
където
△
δ
(
ξ
)
=
{
x
:
|
x
−
ξ
|
<
δ
}
.
{\displaystyle \triangle _{\delta }(\xi )=\{x:\ |x-\xi |<\delta \}.}
Нека
D
{\displaystyle D}
е метрично пространство. Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича равномерно сходяща във всяка точка , ако за всяко
ξ
{\displaystyle \xi }
от
D
{\displaystyle D}
, тя е равномерно сходима във
ξ
{\displaystyle \xi }
.
Равномерна поне ужсходимост в дадена точка
ξ
{\displaystyle \xi }
редактиране
Нека
D
{\displaystyle D}
е метрично пространство. Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича равномерно поне ужсходяща в точката
ξ
{\displaystyle \xi }
клоняща към
f
{\displaystyle f}
, ако
∀
ε
∈
R
>
0
∃
m
∈
N
∃
δ
∈
R
>
0
(
△
δ
(
ξ
)
⊂
{
x
:
|
f
m
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
}
)
.
{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ \exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}\ (\triangle _{\delta }(\xi )\subset \{x:\ |f_{m}(x)-f(x)|<\varepsilon \}).}
Забелeжка : Понятието "равномерна поне ужсходимост " не представлява общоприет в литературата термин. Този вид сходимост е описан за първи път от Хаусдорф в неговата книга Grundzuege der Mengenlehre (1914). Там той я нарича "униформна " (на немски uniforme Konvergenz ) различавайки я от равномерната сходимост (на немски gleichmaessige Konvergenz ). Ние няма да използваме това наименование, защото съществува опасност от объркване. (За тази опасност предупреждава и самият Хаусдорф в книгата си.) Френският израз за равномерна сходимост е сonvergence uniforme (а английският - uniform сonvergence ).[ 1] Освен това употребата на думата сходимост в този случай е заблуждаващо. Редицата
g
n
(
x
)
=
(
n
{\displaystyle g_{n}(x)=(n}
mod
2
)
{\displaystyle 2)}
например отговаря на посочените условия и въпреки това не е дори поточково сходяща. Тоест тук не се касаее за сходимост в общоприетия смисъл.
Поточкова поне ужсходимост в дадена точка
ξ
{\displaystyle \xi }
редактиране
Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича поточково поне ужсходяща [ 2] (или просто поне ужсходяща ) клоняща към
f
{\displaystyle f}
в точката
ξ
∈
D
{\displaystyle \xi \in D}
, ако
∀
ε
∈
R
>
0
∃
m
∈
N
(
|
f
m
(
ξ
)
−
f
(
ξ
)
|
<
ε
)
{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (\left|f_{m}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}
Редицата от функции
F
=
(
f
n
)
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle F=(f_{n})_{n=1,2,...}}
се нарича поточково поне ужсходяща във всяка точка [ 2] (или поточково поне ужсходяща във всяка точка от дефиниционното и множество ) клоняща към
f
{\displaystyle f}
, ако
∀
ξ
∈
D
∀
ε
∈
R
>
0
∃
m
∈
N
(
|
f
m
(
ξ
)
−
f
(
ξ
)
|
<
ε
)
{\displaystyle \forall \xi \in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}\ \exists m\in \mathbb {N} \ (\left|f_{m}(\xi )-f(\xi )\right|<\varepsilon )}