Сборник с математически доказателства/Допълнения/Видове сходимост

Тази страница е в процес на изграждане.


Сходимост в пространства от реалнозначни функции

редактиране

Разглеждаме функции

 

където   e метрично пространство.

Разстоянието между две точки   и   в   ще бележим с  .

Дефиниции

редактиране

Поточкова сходимост в дадена точка  

редактиране

Редицата от функции   се нарича поточково сходяща (или просто сходяща) клоняща към   в точката  , ако

 

Поточкова сходимост във всяка точка

редактиране

Редицата от функции   се нарича поточково сходяща във всяка точка (или поточково сходяща във всяка точка от дефиниционното и множество) клоняща към  , ако

 

Равномерна сходимост

редактиране

Редицата от функции   се нарича равномерно сходяща клоняща към  , ако

 

Равномерна сходимост в точка

редактиране

Нека   е метрично пространство. Редицата от функции   се нарича равномерно сходяща в точката   клоняща към  , ако

 

където

 

Равномерна сходимост във всяка точка

редактиране

Нека   е метрично пространство. Редицата от функции   се нарича равномерно сходяща във всяка точка, ако за всяко   от  , тя е равномерно сходима във  .

Равномерна поне ужсходимост в дадена точка  

редактиране

Нека   е метрично пространство. Редицата от функции   се нарича равномерно поне ужсходяща в точката   клоняща към  , ако

 

Забелeжка: Понятието "равномерна поне ужсходимост" не представлява общоприет в литературата термин. Този вид сходимост е описан за първи път от Хаусдорф в неговата книга Grundzuege der Mengenlehre (1914). Там той я нарича "униформна" (на немски uniforme Konvergenz) различавайки я от равномерната сходимост (на немски gleichmaessige Konvergenz). Ние няма да използваме това наименование, защото съществува опасност от объркване. (За тази опасност предупреждава и самият Хаусдорф в книгата си.) Френският израз за равномерна сходимост е сonvergence uniforme (а английският - uniform сonvergence).[1] Освен това употребата на думата сходимост в този случай е заблуждаващо. Редицата   mod   например отговаря на посочените условия и въпреки това не е дори поточково сходяща. Тоест тук не се касаее за сходимост в общоприетия смисъл.

Поточкова поне ужсходимост в дадена точка  

редактиране

Редицата от функции   се нарича поточково поне ужсходяща[2] (или просто поне ужсходяща) клоняща към   в точката  , ако

 

Поточкова поне ужсходимост във всяка точка

редактиране

Редицата от функции   се нарича поточково поне ужсходяща във всяка точка[2] (или поточково поне ужсходяща във всяка точка от дефиниционното и множество) клоняща към  , ако

 

Свойства

редактиране
  1. На български понякога също неправилно се употребява "униформена сходимост" вместо равномерна сходимост.
  2. 2,0 2,1 Това не е приет в литературата термин, а наименование, което използваме за да улесним изложението на доказателствата в сборника.