Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема на Йънг за прекъснатите функции

Уикипедия разполага със статия за Теорема на Йънг

Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

Тема на тази статия е доказателсво на теоремата на Йънг и някои нейни следствия.

Твърдение (Теорема на Йънг)

Нека ${\mathfrak {G}}$ e семейството на всички $G_{\delta }$ -множества^➚ от реални числа, ${\mathfrak {F}}$ - множеството от функции:

f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

,

а $N(f)\,$ за всяко $f\in {\mathfrak {F}}$ - множеството от точки, в които $f\,$ е непрекъсната. Тогава:

\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}={\mathfrak {G}}

.

Доказателство

Първо ще докажем, че $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ .

Нека $f\in {\mathfrak {F}}$ . Ще използваме следните означения:

$Y(f)=\mathbb {R} \backslash N(f),\,$

$\triangle _{k}(x)$ - за всяко $x\in N(f)$ околност на $x\,$ такава, че $\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right),$

$G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)$

и

$G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}.$

$\triangle _{k}(x)$ са отворени множества следователно и $G_{k}$ са също отворени множества, а $G$ борелово $G_{\delta }$ -множество. Ще докажем, че $N(f)=G\,$ .

Очевидно, че $N(f)\subset G,$ което се вижда от:

\forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G).

В обратната посока:

Нека $y\in G$ . Тогава $\forall k\ (y\in G_{k})$ следователно

\forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).

Нека допуснем, че $y\notin N(f)$ . Тогава $y\neq x_{k}$ за всяко $k$ . Следователно за всяко $k$ съществува околност $\triangle _{k}^{\star }(y)$ на $y$ , такава, че $x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)$ и $\triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k}).$

От дефиницията на $\triangle _{k}(x)$ следва

\forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right),

но това означава, че $y\in N(f).$ .

С това доказахме, че $N(f)\in {\mathfrak {G}}$ и следователно $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ . Остава да докажем, че $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}$ .

Нека $G\in {\mathfrak {G}}$ и

$G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}},$ където $\{G_{n}\}_{n=1,2,...},$ са отворени множества. Нека освен това $H_{1}=G_{1}\,$ и $H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}.$

Ясно е, че

H_{1}\supset H_{2}\supset \ldots \supset H_{n}\supset \ldots

а също така, че

\bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}

за всяко $m$ , от което следва

G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}

.

Дефинираме функцията $f_{H}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ за всяко отворено множество $H$ и функцията $s:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ както следва

f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}

^➚

и

s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}.

Ще докажем, че $s\,$ e функция, за която $N(s)=G\,$ , тоест, че $G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}$ .

Първо ще покажем, че $N(f_{H})=H.\,$

Ако $x\in H$ , то съществува $\varepsilon (x)>0$ такова, че $\triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H.$ Функцията $f_{H}\,$ е константна върху $\triangle (x)$ и следователно непрекъсната в $x\,$ .

Ако

x\in {\overline {H}}\setminus H,

то за всяко $\varepsilon >0$

H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset

и

\forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).

$f_{H}\,$ следователно e прекъсната в $x\,$ .

Ако

x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}},\,

то съществува $\varepsilon (x)>0$ такова, че $\triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}.$ В сила е

\triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset

и

\triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset

От което следва, че $f_{H}\,$ e и в този случай прекъсната в точката $x\,$ .

Нека да разгледаме сега функцията $s(x)\,$ . Редът

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)

се мажорира от сходящия ред

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}

и е следователно равномерно сходящ. Тъй като функциите $\{f_{H_{n}}\}_{n}$ са непрекъснати в $G\,$ , то заради равномерната сходимост на (#) и $s(x)\,$ би трябвало да е непрекъсната в $G,\,$ тоест $N(s)\supset G.$ Остава да покажем, че функцията $s(x)\,$ е прекъсната за всяко $x\in \mathbb {R} \setminus G.$