Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Класовете на Бер и неизброимите ординали

Уикипедия разполага със статия за Класове на Бер

Тази глава взаймства идеи от надеждни източници.

В тази статия се представят аргументи за несъобразността от дефиниране на класове на Бер за неизброими ординални числа.

Нека класовете ${\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{1},...,{\mathcal {B}}_{n},...$ са дефинирани както следва, без да се поставя ограничението за $\kappa :\operatorname {Card} (\kappa )\leq \aleph _{0}\,$ ^➚ както при дефиницията на класовете на Бер.

${\mathcal {B}}_{0}$ е класът на непрекъснатите функции на една реална променлива,
${\mathcal {B}}_{\kappa }$ за произволно ординално число $\kappa >0\!\!{\color {White}_{_{_{_{.}}}}}$ е класът на всички функции, които не принадлежат към $\bigcup _{\kappa '<\kappa }{\mathcal {B}}_{\kappa '}\!\!{\color {White}^{^{^{^{^{^{.}}}}}}}$ , но са (поточкова) граница на редица от функции принадлежащи към $\bigcup _{\kappa '<\kappa }{\mathcal {B}}_{\kappa '}\!\!{\color {White}^{^{^{^{^{^{.}}}}}}}$ ,

Ще докажем следното:

Твърдение

${\mathcal {B}}_{\kappa }=\emptyset$ за всички $\kappa :\operatorname {Card} (\kappa )>\aleph _{0}\,$ .

Доказателство

Верността на твърдението може да се покаже чрез трансфинитна индукция.^[1]

Индукционната хипотеза е

\left(\operatorname {Card} (\kappa )>\aleph _{0}\right)\Rightarrow \left({\mathcal {B}}_{\kappa }=\emptyset \right).

За $\kappa =0\,$ импликацията е вярна.

Нека тя е вярна за $\forall \kappa ':\kappa '<\kappa$ . Ще покажем, че е вярна и за $\kappa \,$ .

Нека

f_{1},f_{2},...,f_{n},...\rightarrow f\in {\mathcal {B}}_{\kappa }\neq \emptyset .

Ще докажем, че $\operatorname {Card} (\kappa )\leq \aleph _{0}.$

Нека $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},...$ са такива ординали, че за

\forall i:f_{i}\in {\mathcal {B}}_{\alpha _{i}}.

От индукционното предполжение следва

\operatorname {Card} (\alpha _{i})\leq \aleph _{0}.

Нека

\lambda '=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}

и

\lambda ={\begin{cases}\lambda '{\text{:}}&\lambda '\notin \{\alpha _{1},...,\alpha _{n},...\}\\\lambda '+1{\text{:}}&\lambda '\in \{\alpha _{1},...,\alpha _{n},...\}\end{cases}}

Ясно е, че за

\forall i:\alpha _{i}<\lambda \,

и

\operatorname {Card} (\lambda )\leq \aleph _{0}.\,

Не е възможно $\lambda \,$ да е по-малко от $\kappa \,$ , защото тогава функцията $f\,$ би била елемент на ${\mathcal {B}}_{\mu }$ за някое $\mu \leq \lambda$ . ${\mathcal {B}}_{\mu }$ и ${\mathcal {B}}_{\kappa }$ обаче са дизюнктни по дефиниция, когато $\mu \neq \kappa$ . Следователно

\kappa \leq \lambda \,

и

\operatorname {Card} (\kappa )\leq \operatorname {Card} (\lambda )\leq \aleph _{0}.\,

^[2]^,^[3]

Литература

Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006, ISBN 978-0387302935

Бележки

↑ Това доказателство следва упътването дадено в книгата: Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, Глав. редакция физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1974 (в диг. форм., ИВМ СО РАН)
↑ Наблюдателният читател сигурно вече си е задал въпроса, защо в една подобна класификация на реални функции е възможнa появата на ограничение за изброимост. Причината се състой в това, че когато говорим за сходимост, си служим с редици, които са изброими множества. В описаното доказателство това беше решаващо при конструирането на $\lambda$ . Описаният факт кореспондира с невъзможността да се намери възходяща редица от изброими ординални числа клоняща към най-малкото неизброимо ординално число $\omega _{1}$ .
↑ Друг интересен въпрос е, дали класовете на Бер за изброими индекси $\kappa$ са празни или не. Може да се покаже, че те не са празни. Този въпрос има непосредтвена връзка с темата борелови множества и с факта, че разглеждаме функции на една реална променлива. Ако вместо функции на една реална променлива разглеждахме например функции на една алгебрична променлива $f$ :A→A над метричното пространство на алгебричните числа A, тогава още класът на Бер от втори ред щеше да е празен. Наистина, нека $a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ да е рeдицата на всички алгебрични числа. Нека $f(a_{n})=y_{n}$ за всяко $n$ , а $f_{n}(x)$ e интерполиращ полином такъв, че $f_{n}(a_{i})=y_{i}$ за всяко $i$ ≤ $n$ . Очевидно $f_{n}(x)$ → $f(x)$ за всяко алгебрично $x$ . Препоръчваме на читателя, който иска да се задълбочи в тази тематика, §33, §38 и §39 в Хаусдорф Ф., Теория множеств, Ленинград, 1937.

[Nat-1] Това доказателство следва упътването дадено в книгата: Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, Глав. редакция физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1974 (в диг. форм., ИВМ СО РАН)

[2] Наблюдателният читател сигурно вече си е задал въпроса, защо в една подобна класификация на реални функции е възможнa появата на ограничение за изброимост. Причината се състой в това, че когато говорим за сходимост, си служим с редици, които са изброими множества. В описаното доказателство това беше решаващо при конструирането на $\lambda$ . Описаният факт кореспондира с невъзможността да се намери възходяща редица от изброими ординални числа клоняща към най-малкото неизброимо ординално число $\omega _{1}$ .

[3] Друг интересен въпрос е, дали класовете на Бер за изброими индекси $\kappa$ са празни или не. Може да се покаже, че те не са празни. Този въпрос има непосредтвена връзка с темата борелови множества и с факта, че разглеждаме функции на една реална променлива. Ако вместо функции на една реална променлива разглеждахме например функции на една алгебрична променлива $f$ :A→A над метричното пространство на алгебричните числа A, тогава още класът на Бер от втори ред щеше да е празен. Наистина, нека $a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ да е рeдицата на всички алгебрични числа. Нека $f(a_{n})=y_{n}$ за всяко $n$ , а $f_{n}(x)$ e интерполиращ полином такъв, че $f_{n}(a_{i})=y_{i}$ за всяко $i$ ≤ $n$ . Очевидно $f_{n}(x)$ → $f(x)$ за всяко алгебрично $x$ . Препоръчваме на читателя, който иска да се задълбочи в тази тематика, §33, §38 и §39 в Хаусдорф Ф., Теория множеств, Ленинград, 1937.

[1]

[2]

[3]