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Конфиналност

wikipedia:en:Cofinality

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Konfinalität

Konfinalität (Kofinalität) und konfinal (kofinal) sind Begriffe der Mathematik, die man für die Beschreibung von unbeschränkten mathematischen Teilstrukturen verwendet, wobei das Attribut "unbeschränkt" von der Ordnungs-, der Ordinalzahl-, der Verbands- oder der Kathegorientheorie spezifiziert wird. Die Konfinalität ist ein wichitiges Instrument bei der Untersuchung des Wachstums von ${\textrm {On}}$ - die Klasse aller Ordinalzahlen - und spielt eine wesentliche Rolle bei der Definition und Analyse der großen Ordinalzahlen. Als Eigenschaft von Teilfolgen wird sie bei der Moore-Smithschen Verallgemeinerung des Begriffes Folge zur Unterscheidung zwischen Teilmengen und Teilnetze eingesetzt und bietet somit die Möglichkeit den Begriff Grenzwert eines Netzes zu definieren. konfinal als Attribut wird auch in der Streu- und der K-theorie verwendet.

Konfinalität als Mengenrelation

Eine gerichtete oder halbgeordnete Menge (oder Klasse) $(A,$$\!^{\leq }$$)$ heißt mit ihrer Teilmenge (Teilklasse) $B$ $\!^{\subset }$ $A$ konfinal, wenn für jedes $b$ $\!^{\in }$ $B$ ein Element von $A$ existiert, das größer ist als $b$.^, Man schreibt, dann $A$ ${\!^{\underset {\leq }{\textrm {cf}}}}\!{\color {White}^{^{^{^{^{^{:}}}}}}}$ $B$ oder, falls in dem jeweiligen Kontext keine weitere Ordnungsrelationen auf $A$ betrachtet werden, einfach nur $A$ ${\textrm {cf}}$ $B$:

$A$ ${\textrm {cf}}$ $B$ $\Leftrightarrow$ $(A$ $\!^{\supset }$ $B)$ $\land$ $\!^{\forall }$ $b$ $\!^{\in }$ $B$ $\!^{\exists }$ $a$ $\!^{\in }$ $A$ $(b$ $\!^{\leq }$ $a)$.

Das Wort "kofinal" bedeutet "hat das selbe Ende wie" und ist in diesem Zusammenhang zum ersten Mal von Hausdorff verwendet worden. Er führt auch den Begriff koinitiale Teilmenge ein: $A$ ist mit $B$ genau dann koinitial - in Zeichen $A$ ${\textrm {ci}}$ $B$ - wenn $A$ "den selben Anfang wie" $B$ hat:

$A$ ${\textrm {ci}}$ $B$ $\Leftrightarrow$ $(A$ $\!^{\supset }$ $B)$ $\land$ $\!^{\forall }$ $b$ $\!^{\in }$ $B$ $\!^{\exists }$ $a$ $\!^{\in }$ $A$ $(a$ $\!^{\leq }$ $b)$.

Die Konfinalität und die Koinitialität sind Halbordnungsrelation auf der Potenzmenge von $A$:

$\!^{\forall }$$B$ $\!^{\subset }$ $A$ $(B$ ${\textrm {cf}}$ $B)$

$\!^{\forall }$$B$ $\!^{\subset }$ $A$ $\!^{\forall }$$C$ $\!^{\subset }$ $A$ $(B$ ${\textrm {cf}}$ $C$ $\land$ $C$ ${\textrm {cf}}$ $B$ $\Rightarrow$ $B=C)$

$\!^{\forall }$$B$ $\!^{\subset }$ $A$ $\!^{\forall }$$C$ $\!^{\subset }$ $A$ $\!^{\forall }$$D$ $\!^{\subset }$ $A$ $(B$ ${\textrm {cf}}$ $C$ $\land$ $C$ ${\textrm {cf}}$ $D$ $\Rightarrow$ $B$ ${\textrm {cf}}$ $D)$

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Jede halbgeordnete Menge ist mit einer wohlgeordenten und mit einer wohlfundierten Menge konfinal.^, Jede halbgeordnete Menge ohne maximale Elemente ist mit mindestens zwei disjunkten Mengen konfinal.^,

PROBE

$A$ ${\!^{\underset {\textrm {R}}{\textrm {ci}}}}\!{\color {White}^{^{^{^{^{:}}}}}}$ $S$

Literatur

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• Klaua D., Kardinal- und Ordinalzahlen, II., Vieweg, Braunschweig, 1974, ISBN 3-528-06141-3

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• Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, 1914, Chelsea Publishing Company, New York, 1949

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• Milne J., Etale Cohomology, 1980, (")
• Lax P., Phillips R., Scattering Theory, Academic Press, 1967, (konfinales Hindernis)
• Barendregt, The Lambda Calculus, 1981, (konfinale Strategie - nur Spezialfall von gerichteter Menge also fürs Atr.Gl.)
• Dold A., Lectures on Algebraic Topology, Springer, 1980, (Funktoren)
• Gratzer G., GENERAL LATTICE THEORY, Akademie-Verlag, 1978, (Klassen in Verbände)
• BARWISE J., HANDBOOK OF MATHEMATICAL LOGIC 3., 1977, ($\Sigma _{2}$-Konfinalität)
• Karoubi M., K-Theory, Springer, 1978, (Konfinales System von Modulen)