Сборник с математически доказателства/Aнализ/Неравенство на Бернули

Неравенството на Бернули се среща в две форми като строго и като нестрого неравенство на Бернули.

Строго неравенство на Бернули

редактиране

За всяко естесвено   и реално  , но различно от нула, е в сила

 
Доказателство
редактиране

Ще проведем доказателството по индукция. За   е в сила  . Нека неравнеството е вярно за всяко  . Тогава то е вярно и за  , защото:

   

Нестрого неравенство на Бернули

редактиране

За всяко естесвено   и реално   е в сила

 
Доказателство
редактиране
  • При  :
 .
  • При  :
 .
  • При  :
 .
  • Останалите случаи се препокриват с условията в строгото неравенство на Бернули.