Сборник с математически доказателства/Чернова9

По време на втория математически конгрес, проведен в Париж през 1900, Давид Хилберт представя 23 нерешени от математиците проблема. Според него, те ще обозначат целите на математиците през ХХ век.

Нека вземем за пример Първият Хилбертов проблем. Първият Хилбертов проблем се отнася до хипотезата за континуума на Кантор. През 1940, Курт Гьодел доказва, че хипотезата не може да бъде опровергана, в рамките на Теорията на множествата на Земело-Франкел, дори ако приемем аксиомата за избора. През 1963, Пол Коен доказва, че хипотезата не може и да бъде доказана, на базата на същата аксиоматика. И двамата предполагат, че аксиоматиката на Земело-Франкел е вътрешно непротиворечива.

По-нататък следва таблица изброяваща проблемите, както и тяхното състояние - решеност, нерешеност, полу- или частична решеност за момента.

Таблица на 23-те проблема

23-те проблема на Хилберт са:

Проблем	Кратко обяснение	Състояние
1ви	Хипотезата за континуума (тоест няма множество по мощно от множеството на целите числа и по-малко мощно от множеството на реалните числа)	Гьодел доказва (1939), че ако аксиоматичната система на Цермело-Френкел е непротиворечива, то тя не може да опровергае хипотезата за континуума. Коен доказва (1969), че при същите предположения, хипотезата не може да бъде доказана, тоест, че в най-широко използваната теория на множествата проблемът е неразрешим. През последните две десителетия се води дискусия за това дали хипотезата може да бъде доказана или опровергана в рамките на друга теория на множествата. Водещият специалист в тази област Уилиам Удин работи върху фомулирането на по-съвършена аксиоматична система от тази на Цермело-Френкел, която ще може да опровергае хипотезата за континуума. Неговият колега Джон Стийлс смята, че начинанието е безсмислено и обречено на неуспех.^[1]^[2]
2ри	Да се докаже непротоворечивостта на Пеановата аритметика.	Проблемът е неразрешим така, както е поставен от Хилберт, тоест в рамките на Хилбертовата програма, която допуска използването на трасфинитна индукция само до $\omega$ (първото безкрайно ординално число). Неразрешимостта е следствие от теоремата на Гьодел за непълнотата. Генцен успява обаче да покаже (1936) непротиворечивостта на Пеановата аритметика в по-малко строга метаматическа програма с височина на индукционните изводи до $\epsilon _{0}$ (най-малкото ординално число непредставимо като аритметичен израз от по-малки ординални числа). Доказано е, че този резултат не може да бъде подобрен.^[3]^[4]^[5]^[6] Тъй като изпозването на ординални числа по-малки от $\epsilon _{0}$ е незначително отклонение от Хилбертовата програма, не криещо рискове, доказателството на Генцен се счита за решение на проблема.^[7]
3ти	Може ли да се докаже, че два тетраедъра имат един и същ обем? (при определени допускания)	Решен. Резултат: не, виж Инварианта на Ден
4ти	Да се построят всички метрики, където правите линии са геодезични криви.	Неясно формулиран^[8] Според Rowe & Gray четвъртия проблем не е твърде добре дефиниран, за да бъде определено дали е решен или не.
5ти	Дали всички непрекъснати групи автоматично Групи на Ли?	Решен (1950, отговор положителен).
6ти	Пълна аксиоматизация на физиката.	Нерешен. Нематематически
7ми	Дали a^b е трансцедентно, за всяко алгебрично число a ≠ 0,1 и ирационално алгебрично b ?	Решен. Резултат: да, виж например Теоремата на Гелфонд или Теоремата на Гелфонд-Шнайдер
8ми	Римановата хипотеза („Реалната част на всяка кратна нула на Римановата дзета-функция е равна на ½“.) и Хипотезата на Голдбах (всяко четно, по-голямо от 2, може да бъде записано като сбор от прости числа).	Открит^[9]
9ти	Find most general law of the reciprocity theorem in any algebraic number field	Частично решен^[10]
10ти	Determination of the solvability of a Diophantine equation	Решен. Резултат: не, Matiyasevich's theorem implies that this is impossible
11ти	Solving quadratic forms with algebraic numerical coefficients.	Частично решен
12ти	Extend Kronecker's theorem on abelian extensions of the rational numbers to any base number field.	Открит
13ти	Solve all 7-th degree equations using functions of two parameters.	Решен
14ти	Proof of the крайност of certain complete systems of functions.	Решен. Резултат: не, generally, due to counterexample
15ти	Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus.	Частично решен
16ти	Topology of algebraic curves and surfaces.	Открит
17ти	Expression of definite rational function as quotient of sums of squares	Решен. Резултат: An upper limit was established for the number of square terms necessary
18ти	Is there a non-regular, space-filling polyhedron? What is the densest sphere packing?	Решен^[11]
19ти	Are the solutions of Lagrangians always analytic?	Решен. Резултат: да
20ти	Do all variational problems with certain boundary conditions have solutions?	Решен. A significant area of research throughout the 20th century, culminating in solutions for the non-linear case.
21ви	Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group	Решен. Резултат: Да or не, depending on more exact formulations of the problem
22ри	Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions	Решен
23ти	Further development of the calculus of variations	Решен

Литература

Александров П.С. (ред.), Проблемы Гильберта, ИСФАРА, 2000, 5-1236-0064-7
Bieberbach L., Über den Einfluß von Hilberts Pariser Vortrag über „Mathematische Probleme“ auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreißig Jahren в Naturwissenschaften, 18, 51., 1930, ISSN 0028-1042
Thiele R., Wos L., Hilbert's Twenty-Fourth Problem в Journal of Automated Reasoning, 29, 1., 2002, ISSN 0168-7433
Фельдман Н. И., Седьмая проблема Гильберта, Издательство Московского университета, 1982
Матиясевич Ю.В., Десятая проблема Гильберта, Физматлит, 1993, ISBN 5-02-014326-Х
Болтянский В. Г., Третья проблема Гильберта, «Наука», Москва, 1977

Бележки

↑ виж. Schindlеr R., Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen? (ps), Mathematische Semesterberichte, 53, 2006 и Schindler R., Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen?, встъпителна лекция, 2004
↑ Cohen P., Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin Inc., New York 1966, ISBN 978-0805323276
↑ Барвайс Дж. (ред.), Справочная книга по математической логике. Теория доказательств и конструктивная математика, Москва, «Наука», 1983
↑ Schütte K., Proof Theory, Springer, 1977, ISBN 0-387-07911-4
↑ Menzler-Trott E., Gentzens Problem, Birkhäuser, 2001, ISBN 3-7643-6574-9
↑ Deutsch M., Einführung in die Grundlagen der Mathematik, Universitätsdruckerei Bremen, 1999, ISBN 3-88722-438-8
↑ Макар, че чрез трансфинитна индукция до $\epsilon _{0}$ може да се докаже непротиворечивостта на аритметиката до $\omega$ , за непротиворечивостта на използваните методи остава винаги някакво съмнение. Всеобщо приетото схващане е, че тези съмнения са пренебрежими и че евентуални парадокси в изложението на Генцен не могат и никога няма да бъдат намерени. Тази вяра се гради най-вече върху очевидната интуитивна близост между Генценовата и Хилбертовата програма.
↑ Според Rowe & Gray по-голямата част от проблемите са решени. Някои не са пълно/достатъчно добре дефинирани, но по тях има достатъчен напредък, за да могат да бъдат считани за „решени“.
↑ Осмият проблем се състои от два известни проблема, които все още не са решени.Първиято от двата, Римановата хипотеза е един от седемте Проблема на хилядолетието, които се оказват "Хилбертовите проблеми" на ХХI. век.
↑ Problem 9 has been solved in the abelian case, by the development of class field theory; the non-abelian case remains unsolved, if one interprets that as meaning non-abelian class field theory.
↑ Rowe & Gray also list the 18th problem as "открит" in their 2000 book, because the sphere-packing problem (also known as the Kepler conjecture) was unsolved, but a solution to it has now been claimed (see reference below).

[1] виж. Schindlеr R., Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen? (ps), Mathematische Semesterberichte, 53, 2006 и Schindler R., Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen?, встъпителна лекция, 2004

[2] Cohen P., Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin Inc., New York 1966, ISBN 978-0805323276

[3] Барвайс Дж. (ред.), Справочная книга по математической логике. Теория доказательств и конструктивная математика, Москва, «Наука», 1983

[4] Schütte K., Proof Theory, Springer, 1977, ISBN 0-387-07911-4

[5] Menzler-Trott E., Gentzens Problem, Birkhäuser, 2001, ISBN 3-7643-6574-9

[6] Deutsch M., Einführung in die Grundlagen der Mathematik, Universitätsdruckerei Bremen, 1999, ISBN 3-88722-438-8

[7] Макар, че чрез трансфинитна индукция до $\epsilon _{0}$ може да се докаже непротиворечивостта на аритметиката до $\omega$ , за непротиворечивостта на използваните методи остава винаги някакво съмнение. Всеобщо приетото схващане е, че тези съмнения са пренебрежими и че евентуални парадокси в изложението на Генцен не могат и никога няма да бъдат намерени. Тази вяра се гради най-вече върху очевидната интуитивна близост между Генценовата и Хилбертовата програма.

[8] Според Rowe & Gray по-голямата част от проблемите са решени. Някои не са пълно/достатъчно добре дефинирани, но по тях има достатъчен напредък, за да могат да бъдат считани за „решени“.

[9] Осмият проблем се състои от два известни проблема, които все още не са решени.Първиято от двата, Римановата хипотеза е един от седемте Проблема на хилядолетието, които се оказват "Хилбертовите проблеми" на ХХI. век.

[10] Problem 9 has been solved in the abelian case, by the development of class field theory; the non-abelian case remains unsolved, if one interprets that as meaning non-abelian class field theory.

[11] Rowe & Gray also list the 18th problem as "открит" in their 2000 book, because the sphere-packing problem (also known as the Kepler conjecture) was unsolved, but a solution to it has now been claimed (see reference below).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]